دانشکده علوم ریاضی دانشگاه گیلان آزمون پایان ترم درس: هندسه منیفلد 1 باشد. دهید.f (gx) = (gof 1 )f X شده باشند سوالات بخش میان ترم

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "دانشکده علوم ریاضی دانشگاه گیلان آزمون پایان ترم درس: هندسه منیفلد 1 باشد. دهید.f (gx) = (gof 1 )f X شده باشند سوالات بخش میان ترم"

Πολωνα Βαμβακάς
6 χρόνια πριν
Προβολές:

آزمون پایان ترم درس: هندسه منیفلد 1 زمان آزمون 120 دقیقه نیمسال: اول 95-94 رشته تحصیلی : ریاضی محض 1.

1 آزمون پایان ترم درس: هندسه منیفلد 1 زمان آزمون 120 دقیقه نیمسال: اول رشته تحصیلی : ریاضی محض 1. نشان دهید X یک میدان برداري روي M است اگر و فقط اگر براي هر تابع مشتقپذیر f روي X(F ) M نیز مشتقپذیر باشد. 2. فرض کنید f : M N تابعی دیفیومورفیسم X یک میدان برداري روي M و g تابعی مشتقپذیر روي M باشد. نشان دهید.f (gx) = (gof 1 )f X.3 اگر R) f : SL(n, R) GL(n, با ضابطه f(a) = A و {0} R g : GL(n, R) با ضابطه det(b) g(b) = تعریف شده باشند الف) رتبه f و رتبه gof را بیابید. ب)نشان دهید که f همومورفیسم گروه ها است. یک دیفیومورفیسم منیفلد هاي دیفرانسیلپذیر و,X Y میدان هاي برداري روي G باشند نشان دهید f (L X Y ) = L f (X)f (Y ) و براي هر (G) g C داریم ) Y.L X (gy ) = (L X g)y + g(l X F (t) = eat e at e at..4 فرض کنید R) G = Gl(3, و نشان دهید F یک عمل روي R 3 است و مولد بی نهایت کوچک X وابسته به آن در نقطه x R 3 عبارست از X x = ax 1 x 1 + ax2 x 2 + ax3 x 3..5 نشان دهید که تابع π : T M M با ضابطه π(v p ) = p تابعی مشتقپذیر و سابمرشن است. سوالات بخش میان ترم 6. تعریف: الف) منیفلد دیفرانسیلپذیر ب) تابع دیفرانسیلپذیر ج) تابع ایمرشن. 7. نشان دهید که S 1 یک منیفلد دیفرانسیلپذیر است. 8. نشان دهید که ترکیب دو تابع ایمرشن یک تابع ایمرشن است..9 فرض کنید M و N منیفلد هاي دیفرانسیلپذیر و F : M N M با ضابطه F (x, y) = x تعریف شده باشد. نشان دهید که F تابعی مشتقپذیر است و رتبه انرا بیابید. دانشجویان محترم می توانند برگه سوال را با خود به همراه ببرند. 1

2 گفت پیغمبر به آواز بلند توکلت علی االله با توکل زانوي اشتر ببند آزمون پایان ترم درس : هندسه منیفلد 1 رشته تحصیلی : ریاضی محض نیمسال: دوم اگر,X Y میدان هاي برداري و f و g توابع مشتقپذیر روي M باشند نشان دهید. 1 که [fx, gy ] = fg[x, Y ] + f(xg)y g(y f)x. 2. فرض کنید ϕ t و ψ s متناظرا شارهاي کامل و وابسته به میدان هاي برداري,X Y روي M باشند. نشان دهید که = 0 ] Y,X] اگر و فقط اگر براي هر f تابع مشتقپذیر روي M و s R داشته باشیم X(foψ s ) = X(f)oψ s 3. اگر f : G H یک همومورفیسم گروه هاي لی باشد نشان دهید که رتبه f در تمام نقاط G ثابت است. بعد kerf را بیابید. H = {( a b ) GL(2, R) a > 0} 0 a 4. اگر الف) نشان دهید که H یک زیر منیفلد بسته از (R GL(n, بوده بعد انرا بیابید. ب) یک عمل از H روي R 2 معرفی نمایید. 5. فرض کنید منحنی γ : R M را داراي یک نقطه بحرانی در = 0 t می نامیم هر گاه براي هر همسایگی مختصاتی ϕ) (U, منحنی ϕoγ : R R n داراي خاصیت = 0 (0) ϕoγ) باشد. نشان دهید که این خاصیت مستقل از انتخاب چارت است. 6. نشان دهید که فضاي مماس بر منیفلد M دیفیو مورفیک با M R n است اگر و فقط اگر n میدان برداري روي M وجود داشته باشند که هیچ جا صفر نباشد و در هر نقطه مستقل خطی باشند..7 فرض کنید 1} = i S 3 = {(x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 2 و N بردار یکه نرمال بر S 3 باشد. نشان دهید که,N in, jn, kn میدان هاي برداري غیر صفر بر S 3 و در هر نقطه مولد فضاي مماس بر آن است. باشید موفق 1 دانشجویان می توانند برگه سوال را با خود به همراه ببرند. 2

3 به نام خدا آزمون میان ترم درس هندسه منیفلد 1 حضرت علی (ع): هر که بسیار به یاد خداي سبحان باشد خداوند دوستش می دارد. 1. فرض کنید M = 1 x y 0 1 z x, y, z R یک ساختار C روي M معرفی کنید. و نشان دهید که (با معرفی یک تابع ( منیفلد M با R 3 دیفیومورف } { یک پایه براي T I M می باشد I عضو همانی M می باشد. x, y, x می باشد. چرا y + z 2. فرض کنید F : M N یک تابع دیفرانسیل پذیر بوده و A یک زیر منیفلد از M باشد نشان دهید که F A تابعی دیفرانسیل پذیر در N می باشد. 3

4 آزمون پایان ترم درس: هندسه منیفلد 1 زمان آزمون 130 دقیقه نیمسال: دوم رشته تحصیلی : ریاضی محض 1. اگر,X Y میدان هاي برداري روي M باشند نشان دهید که ] Y,X] نیز یک میدان برداري روي M است. 2. سیستم معادلات دیفرانسیل زیر را روي زیرمجموعه باز W از R 3 در نظر بگیرید: z z = g(x, y, z), x = h(x, y, z). y الف) نشان دهید مجموعه جواب آن یک منیفلد است بعد آنرا بیابید. ب) یک پایه براي فضاي مماس بر منیفلد فوق را بیابید. ج) توزیع دوبعدي تولید شده توسط پایه فوق را مشخص کرده آیا این توزیع گسترنده است. 3. اگر f : G H یک دیفیومورفیسم منیفلد هاي دیفرانسیلپذیر و,X Y میدان هاي برداري روي G باشند نشان دهید f (L X Y ) = L f (X)f (Y ) و براي هر (G) g C داریم ) Y.L X (gy ) = (L X g)y + g(l X F (t) = eat e at e at..4 فرض کنید R) G = Gl(3, و نشان دهید F یک عمل روي R 3 است و مولد بی نهایت کوچک X وابسته به آن در نقطه x R 3 عبارست از X x = ax 1 x 1 + ax2 x 2 + ax3 x 3..5 نشان دهید که تابع π : T M M با ضابطه π(v p ) = p تابعی مشتقپذیر و سابمرشن است. سوالات بخش میان ترم 6. تعریف: الف) منیفلد دیفرانسیلپذیر ب) تابع دیفرانسیلپذیر ج) تابع ایمرشن. 7. نشان دهید که S 1 یک منیفلد دیفرانسیلپذیر است. 8. نشان دهید که ترکیب دو تابع ایمرشن یک تابع ایمرشن است..9 فرض کنید M و N منیفلد هاي دیفرانسیلپذیر و F : M N M با ضابطه F (x, y) = x تعریف شده باشد. نشان دهید که F تابعی مشتقپذیر است و رتبه انرا بیابید. دانشجویان محترم می توانند برگه سوال را با خود به همراه ببرند. 4

5 آزمون پایان ترم درس : هندسه منیفلد 1 نیمسال: اول 9192 رشته تحصیلی : ریاضی محض زمان: 120 دقیقه 1. اگر f : M N تابعی دیفیومورفیسم و X یک میدان برداري روي M باشد نشان دهید که (X) f نیز یک میدان برداري روي N است. 2.2 اگر f : M N تابعی مشتق پذیر باشد آنگاه f : T M T N نیز تابعی مشتق پذیر است. 3. الف) اگر h : M N تابعی دیفیومورفیسم و X یک میدان برداري روي M با گروه یک پارامتري ϕ t باشد آنگاه گروه یک پارامتري h X تابع 1 oh hoϕ t است. ب) درصورتیکه تابع h دیفیومورفیسم باشد نشان دهید که h X = X اگر و فقط اگر ϕ. t oh = hoϕ t 4. الف) اگر,X Y دو میدان برداري و,f g توابع مشتق پذیر روي M باشند نشان دهید که [fx, gy ] = fg[x, Y ] + f(xg)y gy (f)x. ب) از قسمت الف نتیجه بگیرید که.L X (fy ) = X(f)Y + fl X Y.4 الف) نشان دهید که {0} R R = یک گروه لی است. سپس ثابت کنید تابع دترمینان R det : GL(n, R) داراي رتبه ثابت است. باشید موفق 2 دانشجویان می توانند برگه سوال را با خود به همراه ببرند. هر سري را سرنوشتی کرده دیوان ازل هر تنی را رنگ و بویی داده سلطان ازل تا شود پیدا ز سرش علم پنهان ازل هر وجودي در حقیقت مظهر سري شده تا چه تخم انداخت اول دست دهقان ازل هر چه کاري در بهاران تیر ماه آن بدروي عقل عاجز را که خواند مرد میدان عمل (خواجه عبداالله انصاري). غیر تسلیم ازل انصاریا تعلیم نیست 5

Σχετικά έγγραφα

جلسه 3 ابتدا نکته اي در مورد عمل توابع بر روي ماتریس ها گفته می شود و در ادامه ي این جلسه اصول مکانیک کوانتمی بیان. d 1. i=0. i=0. λ 2 i v i v i.

جلسه 3 ابتدا نکته اي در مورد عمل توابع بر روي ماتریس ها گفته می شود و در ادامه ي این جلسه اصول مکانیک کوانتمی بیان. d 1. i=0. i=0. λ 2 i v i v i. محاسبات کوانتمی (671) ترم بهار 1390-1391 مدرس: سلمان ابوالفتح بیگی نویسنده: محمد جواد داوري جلسه 3 می شود. ابتدا نکته اي در مورد عمل توابع بر روي ماتریس ها گفته می شود و در ادامه ي این جلسه اصول مکانیک